Limite d'un produit de fonctions

Propriété

Soit \(f\)  et  \(g\)  deux fonctions. On s'intéresse à la limite de la fonction `f \times g` . 
\(\alpha\)  désigne  \(-\infty\) ,  \(+\infty\)  ou un réel.

FI signifie Forme Indéterminée.

`\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R}, \ell\neq 0 & \pm \infty & \color{red}{\pm \infty} \\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)} & \ell_2 \in \mathbb{R} & \pm \infty & \pm \infty & \color{red}{0}\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}(f \times g)(x)} & \ell_1\times \ell_2 & \pm \infty \text{ (règle des signes)} & \pm \infty \text{( règle des signes)} & \color{red}{\textbf{FI}} \\ \hline \end{array}`
Énoncé

Déterminer les limites suivantes : 
\(\lim\limits_{x \to -\infty}(-10x^5)\)  et \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\left[\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)\left(5x^2-7\right)\right]\) .

Solution

• \(\lim\limits_{x \to -\infty}(-10)=-10\)  et \(\lim\limits_{x \to -\infty}x^5=-\infty\)  
  donc par produit \(\lim\limits_{x \to -\infty}(-10x^5)=+\infty\) .
  
• \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=+\infty\)  et \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\left(5x^2-7\right)=-7\)  
  donc par produit \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\left[\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)\left(5x^2-7\right)\right]=-\infty\) .